〈1〉定义

从第二项起，每一项与前一项的差为同一常数d（公差）。

数学表达：aₙ − aₙ₋₁ = d（n≥2）

〈2〉核心公式

• 通项：aₙ = a₁ + (n−1)d
• 前n项和：Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2
• 中项性质：若m+n=p+q，则aₘ + aₙ = aₚ + a_q；特别地，2aₙ = aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ（等差中项）

〈3〉典型示例

已知等差数列{aₙ}，a₃=7，a₇=19，求a₁₂。

解：由a₃=a₁+2d=7，a₇=a₁+6d=19，两式相减得4d=12→d=3，代入得a₁=1。

故a₁₂=a₁+11d=1+33=34。

【技巧】直接利用“间隔差”：a₇ − a₃ = 4d=12→d=3，避免解方程组。

〈1〉定义

从第二项起，每一项与前一项的比为同一常数q（公比，q≠0）。

数学表达：aₙ / aₙ₋₁ = q（n≥2）

〈2〉核心公式

• 通项：aₙ = a₁·qⁿ⁻¹
• 前n项和：Sₙ =
• 中项性质：若m+n=p+q，则aₘ·aₙ = aₚ·a_q；特别地，aₙ² = aₙ₋ₖ·aₙ₊ₖ（等比中项，注意符号）

〈3〉易错警示

• 等比数列中任意项≠0，公比q≠0
• 求和时务必讨论q=1与q≠1两种情况
• 等比中项有两个值（±√(a·b)），需结合符号判断

〈4〉典型示例

若−1, a, b, c, −9成等比数列，则b=？ac=？

解：由等比中项性质，b² = (−1)×(−9)=9→b=±3。但原数列首尾均为负，公比q²>0，故b与−1同号→b=−3。

又ac = a₁·a₅ = (−1)×(−9)=9（通性：aₘ·aₙ = aₚ·a_q当m+n=p+q）。

〈1〉aₙ与Sₙ的通用关系

aₙ =

注意：此式为分段函数，使用时必须验证n=1是否满足n≥2时的表达式。

〈2〉典型应用

已知Sₙ = 2n² + 3n，求aₙ。

解：当n=1时，a₁=S₁=5；

当n≥2时，aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(2n²+3n)−[2(n−1)²+3(n−1)]=4n+1。

验证n=1：4×1+1=5=a₁，故aₙ=4n+1（n∈ℕ⁺）。

【反例警示】若Sₙ=2n²+3n+1，则a₁=6；n≥2时aₙ=4n+1，但a₁=5≠6，故通项需分段：

aₙ =

〈1〉适用对象

通项形如aₙ = (An+B)·qⁿ（等差×等比），如aₙ=n·2ⁿ，aₙ=(2n−1)·3ⁿ⁻¹。

〈2〉操作四步法

1. 写Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
2. 等式两边同乘公比q，得qSₙ
3. 错位对齐：Sₙ − qSₙ → 中间项构成等比数列
4. 整理求解（注意合并同类项、化简）

〈3〉典型例题

求Sₙ = 1·2 + 2·2² + 3·2³ + … + n·2ⁿ。

解：Sₙ = ∑ₖ=1ⁿ k·2ᵏ

Sₙ = ∑ₖ=1ⁿ k·2ᵏ⁺¹ = ∑ₖ=2ⁿ⁺¹ (k−1)·2ᵏ

相减：−Sₙ = (2 + 2² + … + 2ⁿ) − n·2ⁿ⁺¹ = 2(2ⁿ−1) − n·2ⁿ⁺¹

故Sₙ = (n−1)·2ⁿ⁺¹ + 2。

验证：n=1时，S₁=2；公式：(1−1)·4+2=2 ✔️

〈1〉裂项核心模式

〈2〉解题要点

• 裂项后剩余项 = 首项剩余部分 + 末项剩余部分
• 注意系数提取，避免漏乘
• 检查n=1时是否满足裂项逻辑

〈3〉实战案例

已知aₙ = 1/[n(n+2)]，求Sₙ。

解：aₙ = (1/2)(1/n − 1/(n+2))

Sₙ = (1/2)[(1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5)+…+(1/n−1/(n+2))]

= (1/2)[1 + 1/2 − 1/(n+1) − 1/(n+2)]

= (3/4) − (1/2)[1/(n+1) + 1/(n+2)]

〈1〉类型三：aₙ₊₁ = p·aₙ + q（p≠0,1）

构造法：设aₙ₊₁ + λ = p(aₙ + λ)，解得λ = q/(p−1)

则{aₙ + λ}为等比数列，首项a₁ + λ，公比p。

例：a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3。

令aₙ₊₁ + λ = 2(aₙ + λ) → λ=3

故{aₙ+3}是首项4、公比2的等比数列 → aₙ+3=4·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹

⇒ aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3

〈2〉类型四：aₙ₊₁ = p·aₙ + qⁿ

两边同除：aₙ₊₁/qⁿ⁺¹ = (p/q)·aₙ/qⁿ + 1/q

令bₙ = aₙ/qⁿ，则bₙ₊₁ = (p/q)bₙ + 1/q，转化为类型三。

例：a₁=2，aₙ₊₁=3aₙ+2ⁿ。

两边同除3ⁿ⁺¹：aₙ₊₁/3ⁿ⁺¹ = aₙ/3ⁿ + 1/(3·2ⁿ)

令bₙ = aₙ/3ⁿ，则bₙ₊₁ − bₙ = 1/(3·2ⁿ)

累加得bₙ = b₁ + ∑ₖ=1ⁿ⁻¹ 1/(3·2ᵏ) = 2/3 + (1/3)(1/2)(1−1/2ⁿ⁻¹)/(1−1/2) = 1 − 1/2ⁿ⁺¹

⇒ aₙ = 3ⁿ(1 − 1/2ⁿ⁺¹) = 3ⁿ − (3/2)ⁿ⁻¹

〈1〉数列不等式证明

放缩法是核心技巧，常见策略：

• “放”：aₙ < bₙ，且∑bₙ收敛 → ∑aₙ < ∑bₙ
• “缩”：aₙ > cₙ，且∑cₙ发散 → ∑aₙ发散

例：证明1/2² + 1/3² + … + 1/n² < 1 − 1/n（n≥2）。

【放缩】1/k² < 1/[k(k−1)] = 1/(k−1) − 1/k（k≥2）

故和 < (1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/(n−1)−1/n) = 1 − 1/n

〈2〉最值问题

等差数列Sₙ最值：Sₙ = An²+Bn（A≠0），顶点n=−B/(2A)，取离顶点最近的正整数。

通项aₙ最值：研究单调性，由aₙ₊₁−aₙ符号判断增减。

例：等差数列a₁=−10，d=2，求|aₙ|的最小值。

aₙ=−10+(n−1)·2=2n−12，a₆=0 ⇒ |a₆|=0最小。

〈3〉存在性问题

设存在某n使条件成立，列方程求解，验证n∈ℕ⁺。

例：等比数列a₁=1，q=2，是否存在n使Sₙ=255？

Sₙ=2ⁿ−1=255 ⇒ 2ⁿ=256 ⇒ n=8 ✔️